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Functions

𝐟:𝔻nβ†’π•Žm,π±β†¦πŸ(𝐱)\boldsymbol f:\mathbb D^n \rightarrow \mathbb W^m,\ \boldsymbol x \mapsto \boldsymbol f(\boldsymbol x)

with function ff

Name Definition
Function f:π”»β†’π•Žf:\mathbb D \rightarrow \mathbb W
Scalarfield Ο•:𝔻nβ†’π•Ž\phi:\mathbb D^n \rightarrow \mathbb W
Curve 𝐫:π”»β†’π•Žm\boldsymbol r: \mathbb D \rightarrow \mathbb W^m
Vectorfield 𝐅:𝔻nβ†’π•Žn\boldsymbol F:\mathbb D^n \rightarrow \mathbb W^n
Property
Bild f(D):={f(x)|x∈D}f(D) := \{ f(x) \;\vert\; x\in D \}
Kern kerf:={𝐱|𝐟(𝐱)=0}\,\text{ker}f := \{ \boldsymbol x \;\vert\; \boldsymbol f(\boldsymbol x) = \boldsymbol 0 \}
Komposition f∘g:=f(g())f \circ g := f\bigl( g() \bigr)
Fixpunkt a:=f(a)a := f(a)
Class
Injektiv f(x1)=f(x2)β‡’x1=x2f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2
Surjektiv βˆ€yβˆˆπ•Žβˆƒxβˆˆπ”»:f(x)=y\forall y\in \mathbb W \exists x\in \mathbb D:f(x)=y
Bijektiv if injective and surjective

Funktionen f:π”»β†’π•Ž,x↦f(x)f:\mathbb D \rightarrow \mathbb W,\ x \mapsto f(x)

Eine Funktion ff ist eine Abbildung, die jedem Element xx einer Definitionsmenge DD genau ein Element yy einer Wertemenge WW zuordnet.

Symmetry

Achsensym.(gg): f(βˆ’x)=f(x)f(-x)=f(x)
Punktsym.(uu): f(βˆ’x)=βˆ’f(x)f(-x)=-f(x)

g1Β±g2=g3g_1 \pm g_2 = g_3 u1Β±u2=u3u_1 \pm u_2 = u_3
g1β‹…g2=g3g_1 \cdot g_2=g_3 u1β‹…u2=g3u_1 \cdot u_2 = g_3

Extrema, Monotonie und KrΓΌmmung von ff

fβ€²(x0)=!0{fβ€³(x0)<0β†’Maximum (lokal)fβ€³(x0)>0β†’Minimum (lokal)f'(x_0)\overset{!}{=}0 \begin{cases}f''(x_0)<0 \ \rightarrow \ \text{Maximum (lokal)} \\ f''(x_0)>0 \ \rightarrow \ \text{Minimum (lokal)}\end{cases}

fβ€³(x0)=0 und f‴(x0)β‰ 0β†’x0f''(x_0)=0 \text{ und } f'''(x_0) \ne 0 \rightarrow x_0 Wendepunkt

fβ€²(x)(>)β‰₯/(<)≀0β†’f'(x) \stackrel{_\ge}{_{(\gt)}}\!\! / \!\! \stackrel{_\le}{_{(\lt)}} 0 \ \rightarrow Β ff (streng) Monoton steigend/fallend. x∈[a,b]x\in[a,b]

fβ€³(x)(>)β‰₯/(<)≀0β†’f''(x) \stackrel{_\ge}{_{(\gt)}}\!\! / \!\! \stackrel{_\le}{_{(\lt)}} 0 \ \rightarrow Β ff (strikt) konvex/konkav. x∈[a,b]x\in[a,b]

Asymptoten und Grenzwerte von ff

Horizontal: cΒ±=limxβ†’Β±βˆžf(x)c_\pm =\lim\limits_{x\rightarrow\pm \infty} f(x) Vertikal: βˆƒNullst. a des Nenners \exists\,\text{Nullst. } a \text{ des Nenners }\ Polynomasymptote P(x)P(x): f(x):=A(x)Q(x)=P(x)+(B(x)Q(x)β†’0)f(x):=\frac{A(x)}{Q(x)}=P(x)+ \Big(\frac{B(x)}{Q(x)}\rightarrow 0\Big)

Regel von L’Hospital: limxβ†’af(x)g(x)β†’[00]/[∞∞]=limxβ†’afβ€²(x)gβ€²(x)\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow \left[ \frac{0}{0} \right]\!/\!\left[ \frac{\infty}{\infty} \right] = \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Wichtige Grenzwerte
limxβ†’βˆž1xn=0\lim\limits_{x \rightarrow\infty} \frac{1}{x^n} = 0 limnβ†’βˆžnn=1\lim\limits_{n \rightarrow\infty} \sqrt[n]{n} = 1
limxβ†’βˆžxβ‹…eβˆ’x=0\lim\limits_{x \rightarrow\infty} x \cdot e^{-x} = 0 limxβ†’0sin(x)x=1\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1

Wichtige SΓ€tze fΓΌr stetige Fkt. f:[a,b]→ℝ,f↦f(x)f: [a,b] \rightarrow \mathbb R, f \mapsto f(x)

Zwischenwertsatz: βˆ€y∈[f(a),f(b)]βˆƒx∈[a,b]:f(x)=y\forall y \in [f(a),f(b)]\ \exists x\in [a,b]:f(x)=y

Mittelwertsatz: Falls ff diffbar, dann βˆƒx0:fβ€²(x0)=f(b)βˆ’f(a)bβˆ’a\exists x_0:f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Satz von Rolle: Falls f(a)=f(b)f(a)=f(b), dann βˆƒx0:fβ€²(x0)=0\exists x_0: f' (x_0) = 0

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