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Functions

$${\boldsymbol f}:\mathbb D^n \rightarrow \mathbb W^m,\ {\boldsymbol x} \mapsto {\boldsymbol f}({\boldsymbol x})$$

with function $f$

Name Definition
Function $f:\mathbb D \rightarrow \mathbb W$
Scalarfield $\phi:\mathbb D^n \rightarrow \mathbb W$
Curve ${\boldsymbol r}: \mathbb D \rightarrow \mathbb W^m$
Vectorfield ${\boldsymbol F}:\mathbb D^n \rightarrow \mathbb W^n$
Property
Bild $f(D) := \{ f(x) \;\vert\; x\in D \}$
Kern ${\,\text{ker}}f := \{ {\boldsymbol x} \;\vert\; {\boldsymbol f}({\boldsymbol x}) = {\boldsymbol 0} \}$
Komposition $f \circ g := f\bigl( g() \bigr)$
Fixpunkt $a := f(a)$
Class
Injektiv $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$
Surjektiv $\forall y\in \mathbb W \exists x\in \mathbb D:f(x)=y$
Bijektiv if injective and surjective

Funktionen $f:\mathbb D \rightarrow \mathbb W,\ x \mapsto f(x)$

Eine Funktion $f$ ist eine Abbildung, die jedem Element $x$ einer Definitionsmenge $D$ genau ein Element $y$ einer Wertemenge $W$ zuordnet.

Symmetry

Achsensym.($g$): $f(-x)=f(x)$
Punktsym.($u$): $f(-x)=-f(x)$

$g_1 \pm g_2 = g_3$ $u_1 \pm u_2 = u_3$
$g_1 \cdot g_2=g_3$ $u_1 \cdot u_2 = g_3$

Extrema, Monotonie und Krümmung von $f$

$$f'(x_0)\overset{!}{=}0 \begin{cases}f''(x_0)<0 \ \rightarrow \ \text{Maximum (lokal)} \\ f''(x_0)>0 \ \rightarrow \ \text{Minimum (lokal)}\end{cases}$$

$f''(x_0)=0 \text{ und } f'''(x_0) \ne 0 \rightarrow x_0$ Wendepunkt

$f'(x) \stackrel{_\ge}{_{(\gt)}}\!\! / \!\! \stackrel{_\le}{_{(\lt)}} 0 \ \rightarrow$  $f$ (streng) Monoton steigend/fallend. $x\in[a,b]$

$f''(x) \stackrel{_\ge}{_{(\gt)}}\!\! / \!\! \stackrel{_\le}{_{(\lt)}} 0 \ \rightarrow$  $f$ (strikt) konvex/konkav. $x\in[a,b]$

Asymptoten und Grenzwerte von $f$

Horizontal: $c_\pm =\lim\limits_{x{\rightarrow}\pm \infty} f(x)$ Vertikal: $\exists\,\text{Nullst. } a \text{ des Nenners }$\ Polynomasymptote $P(x)$: $f(x):=\frac{A(x)}{Q(x)}=P(x)+ \Big(\frac{B(x)}{Q(x)}{\rightarrow}0\Big)$

Regel von L'Hospital: $\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow \left[ \frac{0}{0} \right]\!/\!\left[ \frac{\infty}{\infty} \right] = \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Wichtige Grenzwerte
$\lim\limits_{x {\rightarrow}\infty} \frac{1}{x^n} = 0$ $\lim\limits_{n {\rightarrow}\infty} \sqrt[n]{n} = 1$
$\lim\limits_{x {\rightarrow}\infty} x \cdot e^{-x} = 0$ $\lim\limits_{x {\rightarrow}0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$

Wichtige Sätze für stetige Fkt. $f: [a,b] \rightarrow \mathbb R, f \mapsto f(x)$

Zwischenwertsatz: $\forall y \in [f(a),f(b)]\ \exists x\in [a,b]:f(x)=y$

Mittelwertsatz: Falls $f$ diffbar, dann $\exists x_0:f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Satz von Rolle: Falls $f(a)=f(b)$, dann $\exists x_0: f' (x_0) = 0$

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