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Continious Discrete
Real Fourier Fourier
Complex Laplace Z-Transform
Properties
Linearity αf(t)+βg(t)\alpha f(t) + \beta g(t) αF(s)+βG(s)\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ \ \alpha F(s) + \beta G(s)
Shift Time x(tτ)x(t - \tau) esτX(x)\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ \ e^{-s \tau} X(x)
Shift Frequency eτte^{\tau t} X(sτ)\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ \ X(s - \tau)
Stauchung f(ct)f(ct) 1|c|F(sc)\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ \ \frac{1}{\left\vert{c}\right\vert} F\bigl(\frac{s}{c}\bigr)
Ableitung f(n)(t)f^{(n)}(t) snF(s)\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ \ s^n F(s)
Integral tτdτ\int_{-\infty}^t \tau \,\text{d}\tau 1sX(s)\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ \ \frac{1}{s} X(s)
Faltung (f*g)(t)(f * g)(t) F(s)G(s)\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ \ F(s) \cdot G(s)

timefunctions f,gf,g, frequency functions X,F,GX,F,G, complex number 𝐬\boldsymbol{s}, time tt, time shift τ\tau, constant cc

Example Spectrums

Time f(t)f(t) Frequency X(f)X(f)

Fourierreihe

Approximation einer periodischen Funktion f(t)f(t) durch Überlagerung gewichteter Sinus und Cosinus einer Grundfrequenz ω0=1T\omega_0 = \frac{1}{T} und deren Oberschwingungen 2ω0,3ω0,...2\omega_0, 3\omega_0, ...

F(x)=k=ckeikω0xck=1TT2T2f(x)eikω0xdxF(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^\infty c_k e^{\text{i}k \omega_0 x} \qquad c_k = \frac{1}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{\text{i}k \omega_0 x} \,\text{d}x

Fouriertransformation (FT)

$\displaystyle \tiny\begin{matrix}\\ \normalsize f(t) \\[1em] \scriptsize \text{Zeitbereich} \end{matrix} \ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ \tiny\begin{matrix}\\ \normalsize F(\omega) \\[1em] \scriptsize \text{Frequenzspektrum} \end{matrix} := \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) \exp(-\text{i}\omega t) \,\text{d}t$

Anmerkung: Es gibt unterschiedliche Normungen (1,12π1, \frac{1}{\sqrt{2\pi}})

Laplaceransformation (LT) 𝐬=α+ωi\boldsymbol{s} = \alpha + \omega\text{i}

LT ist Verallgemeinerung der FT mit Dämpfungsfaktor α\alpha

$\displaystyle \tiny\begin{matrix}\\ \normalsize f(t) \\[1em] \scriptsize \text{Zeitbereich} \end{matrix} \ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ \tiny\begin{matrix}\\ \normalsize F(\boldsymbol{s}) = \mathcal L\left(f(t)\right) \\[1em] \scriptsize \text{Frequenzspektrum} \end{matrix} := \int\limits_{0}^\infty f(t) \exp(- \boldsymbol{s} t) \,\text{d}t$

Z-Transform (ZT)