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Continious Discrete
Real Fourier Fourier
Complex Laplace Z-Transform
Properties
Linearity $\alpha f(t) + \beta g(t)$ ${\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ }\ \alpha F(s) + \beta G(s)$
Shift Time $x(t - \tau)$ ${\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ }\ e^{-s \tau} X(x)$
Shift Frequency $e^{\tau t}$ ${\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ }\ X(s - \tau)$
Stauchung $f(ct)$ ${\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ }\ \frac{1}{{\left\vert{c}\right\vert}} F\bigl(\frac{s}{c}\bigr)$
Ableitung $f^{(n)}(t)$ ${\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ }\ s^n F(s)$
Integral $\int_{-\infty}^t \tau {\,\text{d}}\tau$ ${\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ }\ \frac{1}{s} X(s)$
Faltung $(f * g)(t)$ ${\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ }\ F(s) \cdot G(s)$

timefunctions $f,g$, frequency functions $X,F,G$, complex number ${\boldsymbol{s}}$, time $t$, time shift $\tau$, constant $c$

Example Spectrums

Time $f(t)$ Frequency $X(f)$

Fourierreihe

Approximation einer periodischen Funktion $f(t)$ durch Überlagerung gewichteter Sinus und Cosinus einer Grundfrequenz $\omega_0 = \frac{1}{T}$ und deren Oberschwingungen $2\omega_0, 3\omega_0, ...$

$F(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^\infty c_k e^{{\text{i}}k \omega_0 x} \qquad c_k = \frac{1}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{{\text{i}}k \omega_0 x} {\,\text{d}}x$

Fouriertransformation (FT)

$\displaystyle {\tiny\begin{matrix}\\ \normalsize f(t) \\[1em] \scriptsize \text{Zeitbereich} \end{matrix}} {{\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ }}{\tiny\begin{matrix}\\ \normalsize F(\omega) \\[1em] \scriptsize \text{Frequenzspektrum} \end{matrix}} := \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) \exp(-{\text{i}}\omega t) {\,\text{d}}t$

Anmerkung: Es gibt unterschiedliche Normungen ($1, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$)

Laplaceransformation (LT) ${\boldsymbol{s}} = \alpha + \omega{\text{i}}$

LT ist Verallgemeinerung der FT mit Dämpfungsfaktor $\alpha$

$\displaystyle {\tiny\begin{matrix}\\ \normalsize f(t) \\[1em] \scriptsize \text{Zeitbereich} \end{matrix}} {{\ \circ\:\!\!\!\!-\!\!\!\bullet\ }}{\tiny\begin{matrix}\\ \normalsize F({\boldsymbol{s}}) = \mathcal L\left(f(t)\right) \\[1em] \scriptsize \text{Frequenzspektrum} \end{matrix}} := \int\limits_{0}^\infty f(t) \exp(- {\boldsymbol{s}} t) {\,\text{d}}t$

Z-Transform (ZT)

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