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Definition

A Matrix is a table of math objects.

𝐀=(aij)βˆˆπ•‚mΓ—n\boldsymbol{A}=(a_{ij}) \in \mathbb K^{m\times n} has mm rows (index ii) and nn columns (index jj)

Example

A matrix π€βˆˆπ•‚2Γ—3\boldsymbol{A} \in \mathbb K^{2\times 3} could be 𝐀=[abcdef]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix}.

Dimension
dim𝕂=n=rang𝐀+dimker𝐀\dim \mathbb K = n = \text{rang}\boldsymbol{A} + \dim\,\text{ker}\boldsymbol{A}
rang𝐀=rangπ€βŠ€\text{rang}\boldsymbol{A} = \text{rang}\boldsymbol{A}^{\top}

Table of Contents

Calculations

For two general matrices 𝐀\boldsymbol{A} and 𝐁\boldsymbol{B}:

Norms

$\boldsymbol{A} \in \K^{m \times n}, i\in[1,m], j\in[1,n]$

Norm
Gesamtnorm βˆ₯𝐀βˆ₯G\left\lVert{\boldsymbol{A}}\right\rVert_G $\sqrt{mn}\cdot\tiny\begin{matrix}\\ \normalsize \max \\[1em] \scriptsize i,j \end{matrix}\left\vert{a_{ij}}\right\vert$
Zeilennorm (max Zeilensumme) βˆ₯𝐀βˆ₯∞\left\lVert{\boldsymbol{A}}\right\rVert_\infty $= \tiny\begin{matrix}\\ \normalsize \max \\[1em] \scriptsize i \end{matrix}\sum\limits_{j=1}^n\left\vert{a_{ij}}\right\vert$
Spaltennorm (max Spaltensumme) βˆ₯𝐀βˆ₯1\left\lVert{\boldsymbol{A}}\right\rVert_1 $= \tiny\begin{matrix}\\ \normalsize \max \\[1em] \scriptsize j \end{matrix}\sum\limits_{i=1}^m\left\vert{a_{ij}}\right\vert$
$\tiny\begin{matrix}\\ \normalsize \text{Frobeniusnorm} \\[1em] \scriptsize \text{euklidische Norm} \end{matrix}$ βˆ₯𝐀βˆ₯E\left\lVert{\boldsymbol{A}}\right\rVert_E =βˆ‘i=1βˆ‘j=1|aij|2= \sqrt{\sum\limits_{i=1}\sum\limits_{j=1}\left\vert{a_{ij}}\right\vert^2}
Spektralnorm, Hilbertnorm βˆ₯𝐀βˆ₯Ξ»\left\lVert{\boldsymbol{A}}\right\rVert_\lambda =Ξ»max(π€βŠ€β‹…π€)= \sqrt{\lambda_\text{max}(\boldsymbol{A}^\top\cdot\boldsymbol{A})}

(βˆ₯𝐀βˆ₯M=βˆ₯𝐀βˆ₯Gmn)\left(\left\lVert{\boldsymbol{A}}\right\rVert_M = \frac{\left\lVert{\boldsymbol{A}}\right\rVert_G}{\sqrt{mn}}\right)

Eigenvalues and Eigenvectors

Eigenvalues: det(π€βˆ’Ξ»1)=0\det(\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{1}) = 0
Eigenvectors: ker(π€βˆ’Ξ»i1)=𝐯i\,\text{ker}(\boldsymbol{A} - \lambda_i \boldsymbol{1}) = \boldsymbol v_i

$$\boldsymbol{A} \boldsymbol v = \lambda \boldsymbol v$ \qquad $\det \boldsymbol{A} = \prod \lambda_i$ \qquad\ $\,\text{Sp}\boldsymbol{A} = \sum a_{ii} = \sum \lambda_i$$

with the Eigenvalue λ\lambda and the Eigenvector 𝐯\boldsymbol v.

Quadratic Matrices

Properties
regular ⇔det(𝐀)β‰ 0⇔rang𝐀=n\Leftrightarrow \det (\boldsymbol{A}) \ne 0 \Leftrightarrow \text{rang}\boldsymbol{A} = n
singular ⇔det(𝐀)=0⇔rang𝐀≠n\Leftrightarrow \det (\boldsymbol{A}) = 0 \Leftrightarrow \text{rang}\boldsymbol{A} \ne n
orthogonal β‡”π€βŠ€=π€βˆ’1β‡’det(𝐀)=Β±1\Leftrightarrow \boldsymbol{A}^\top=\boldsymbol{A}^{-1} \Rightarrow\det(\boldsymbol{A}) = \pm 1
symmetric 𝐀=π€βŠ€\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^\top schiefsymmetrisch: 𝐀=βˆ’π€βŠ€\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A}^\top

Determinant

The determinant of a square matrix 𝐀\boldsymbol{A} is denoted det(𝐀)\det(\boldsymbol{A}), det𝐀\det \boldsymbol{A}, or |A||A|. Geometrically, it can be viewed as the volume scaling factor of the linear transformation described by the matrix.

If 𝐀\boldsymbol{A} has β‰₯2\ge 2 lin. dependent rows/columns β‡’|A|=0\Rightarrow |A|=0.

det(A0CD)=det(AB0D)=det(A)β‹…det(D)\det\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}=\det(A)\cdot\det(D)

|A|=βˆ‘i=1n(βˆ’1)i+jβ‹…aijβ‹…|Aij||A|=\sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot |A_{ij}|

Inverse Matrix

An nΓ—nn \times n square matrix 𝐀\boldsymbol{A} is called invertible (nonsingular) if there exists an nΓ—nn \times n square matrix 𝐁\boldsymbol{B} such that

𝐀⋅𝐁=𝐁⋅𝐀=1n\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{A} = \boldsymbol{1}_n

Explanation

Eine Matrix heißt singulÀr, wenn ihre Spaltenvektoren linear abhÀngig voneinander sind. Daraus folgt, dass der Bildraum mindestens eine Dimension weniger hat als der Abbildungsraum, da die Spaltenvektoren den $\R^n$ nicht mehr erzeugen kânnen und keine Basis mehr zum $\R^n$ darstellen. Hat man nun einen Bildpunkt im $\R^{n-1}$ gegeben, so lÀsst sich nicht mehr sagen, von wo aus dem $\R^n$ dieser Punkt auf den Bildraum $\R^{n-1}$ abgebildet worden ist, da er ja durch unendlich verschiedene Linearkombination der Spaltenvektoren erreicht werden kann. Die Abbildung lÀsst sich deshalb nicht mehr umkehren, die Matrix ist nicht invertierbar, die Determinante ist null.

Rotation Matrix of $\R^3$

for rotations in a right-handed coordinate system XYZXYZ.

[1000cosΞ±βˆ’sinΞ±0sinΞ±cosΞ±][cosΞ±0sinΞ±010βˆ’sinΞ±0cosΞ±][cosΞ±βˆ’sinΞ±0sinΞ±cosΞ±0001]𝐑x(Ξ±)𝐑y(Ξ±)𝐑z(Ξ±)\begin{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} \cos \alpha &-\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \boldsymbol{R}_x(\alpha) & \boldsymbol{R}_y(\alpha) & \boldsymbol{R}_{z}(\alpha) \end{matrix}

Explanation

Bei einer Rotationsmatrix stehen die Spaltenvektoren senkrecht aufeinander (orthogonal). Deshalb ist der Bildraum nicht verzerrt da nur die Richtung der Einheitsvektoren verΓ€ndert wird, allerdings nicht ihre Stellung zueinander. Somit entspricht eine orthogonale Abbildungsmatrix einer Drehung des Koordinatensystems in eine andere Richtung (bezΓΌglich nn Freiheitsgraden).

Special 2Γ—2 Matrices

For a 2Γ—22 \times 2 matrix 𝐀=[abcd]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} the following rules hold:

Determinant: det(𝐀)=adβˆ’bc\det(\boldsymbol{A}) = ad - bc

Trace (ger. β€žSpurβ€œ): Sp(𝐀)=a+d\,\text{Sp}(\boldsymbol{A}) = a+d

Inverse: [abcd]βˆ’1=1det𝐀[dβˆ’bβˆ’ca]\displaystyle\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det \boldsymbol{A}} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Eigenvalues:

Ξ»1/2=Sp𝐀2Β±(Sp𝐀2)2βˆ’det𝐀\lambda_{1/2} = \frac{\,\text{Sp}\boldsymbol{A}}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{\,\text{Sp}\boldsymbol{A}}{2} \right)^2 - \det \boldsymbol{A} }

with 𝐀=[abcd]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, and Sp(𝐀)=a+d\,\text{Sp}(\boldsymbol{A}) = a+d.