Analysis#

Functions#

\[\vec f:\mathbb D^n \rightarrow \mathbb W^m,\ \vec x \mapsto \vec f(\vec x)\]

with function \(f\)

Name	Definition
Function	\(f:\mathbb D \rightarrow \mathbb W\)
Scalarfield	\(\phi:\mathbb D^n \rightarrow \mathbb W\)
Curve	\(\vec r: \mathbb D \rightarrow \mathbb W^m\)
Vectorfield	\(\vec F:\mathbb D^n \rightarrow \mathbb W^n\)

Property
Bild	\(f(D) := \{ f(x) \;\vert\; x\in D \}\)
Kern	\(\ker f := \{ \vec x \;\vert\; \vec f(\vec x) = \vec 0 \}\)
Komposition	\(f \circ g := f\bigl( g() \bigr)\)
Fixpunkt	\(a := f(a)\)

Class
Injektiv	\(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2\)
Surjektiv	\(\forall y\in \mathbb W \exists x\in \mathbb D:f(x)=y\)
Bijektiv	if injective and surjective

Funktionen \(f:\mathbb D \rightarrow \mathbb W,\ x \mapsto f(x)\)#

Eine Funktion \(f\) ist eine Abbildung, die jedem Element \(x\) einer Definitionsmenge \(D\) genau ein Element \(y\) einer Wertemenge \(W\) zuordnet.

Symmetry#

Achsensym.(\(g\)): \(f(-x)=f(x)\) Punktsym.(\(u\)): \(f(-x)=-f(x)\)

\(g_1 \pm g_2 = g_3\)	\(u_1 \pm u_2 = u_3\)
\(g_1 \cdot g_2=g_3\)	\(u_1 \cdot u_2 = g_3\)

Extrema, Monotonie und Krümmung von \(f\)#

\[f'(x_0)\overset{!}{=}0 \begin{cases}f''(x_0)<0 \ \rightarrow \ \text{Maximum (lokal)} \\ f''(x_0)>0 \ \rightarrow \ \text{Minimum (lokal)}\end{cases}\]

\(f''(x_0)=0 \text{ und } f'''(x_0) \ne 0 \rightarrow x_0\) Wendepunkt

\(f'(x) \stackrel{_\ge}{_{(>)}}\!\! / \!\! \stackrel{_\le}{_{(<)}} 0 \ \rightarrow\) \(f\) (streng) Monoton steigend/fallend. \(x\in[a,b]\)

\(f''(x) \stackrel{_\ge}{_{(>)}}\!\! / \!\! \stackrel{_\le}{_{(<)}} 0 \ \rightarrow\) \(f\) (strikt) konvex/konkav. \(x\in[a,b]\)

Asymptoten und Grenzwerte von \(f\)#

Horizontal: \(c_\pm =\lim\limits_{x\ra \pm \infty} f(x)\) Vertikal: \(\exists\,\text{Nullst. } a \text{ des Nenners }\)\ Polynomasymptote \(P(x)\): \(f(x):=\frac{A(x)}{Q(x)}=P(x)+ \Big(\frac{B(x)}{Q(x)}\ra 0\Big)\)

Regel von L'Hospital: \(\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow \left[ \frac{0}{0} \right]\!/\!\left[ \frac{\infty}{\infty} \right] = \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)

Wichtige Grenzwerte
\(\lim\limits_{x \ra \infty} \frac{1}{x^n} = 0\)	\(\lim\limits_{n \ra \infty} \sqrt[n]{n} = 1\)
\(\lim\limits_{x \ra \infty} x \cdot e^{-x} = 0\)	\(\lim\limits_{x \ra 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\)

Wichtige Sätze für stetige Fkt. \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb R, f \mapsto f(x)\)#

Zwischenwertsatz: \(\forall y \in [f(a),f(b)]\ \exists x\in [a,b]:f(x)=y\)

Mittelwertsatz: Falls \(f\) diffbar, dann \(\exists x_0:f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

Satz von Rolle: Falls \(f(a)=f(b)\), dann \(\exists x_0: f' (x_0) = 0\)