Convolution

Corresponds to multiplication in the frequncy domain.

$$x(t) * h(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \cdot h(t-\tau) \diff \tau$$

with signals $x(t)$, $h(t)$.

Discrete: $\((f*g)[n] = \sum\limits_{k = -\infty}^{\infty} {f[k] g[n-k]}\)$

Comparison of convolution, cross-correlation, and auto-correlation. From Wikimedia

Convolution of $f(t) * g(t)$ showing $f(\tau)$ and $g(t - \tau)$

Properties

• Kommutativität: $f(t)*g(t) = g(t)*f(t)$

• Assoziativität: $f(t)*(g(t)*h(t)) = (f(t)*g(t))*h(t)$

• Distributivität: $f(t)*(g(t) + h(t)) = f(t)*g(t) + f(t)*h(t)$

• Faltung mit Dirac: $x(t)*\delta(t-b) = x(t-b)$ (Gleiches Signal verschoben)

• Kausalität: $h(t - \tau) = 0$ für $\tau > t$
  $h[n - l] = 0$ für $l > n$

Refrences