Curve#
A curve is a generalization of a line, in that its curvature need not be zero.
\[\vec \gamma:[a,b] \rightarrow \R^n, t \mapsto \vect{ \gamma_1(t) \\ \vdots \\ \gamma_n(t)}\]
[curve.svg]{width="15em"}
Properties#
- \(\mathcal C^0\)-Kurve: Positionsstetigkeit (geschlossene Kurve)
- \(\mathcal C^1\)-Kurve: Tangentialstetigkeit (stetig diffbar)
- \(\mathcal C^2\)-Kurve: Krümmungsstetigkeit (2 mal stetig diffbar)
- regulär, falls \(\forall t \in [a,b]:\dot \gamma(t) \ne \vec 0\) (Keine Knicke)
- Singulär, falls \(\dot \gamma(t)=\vec 0\) (Knick)
Special points#
- Doppel-punk, falls \(\exists t_1,t_2:t_1 \ne t_2 \ \land \ \gamma(t_1)=\gamma(t_2)\)
- Horizontaler Tangentenpunkt, falls \(\dot \gamma_1(t) \ne 0 \ \land \ \dot \gamma_2(t)=0\)
- Vertikaler Tangentenpunkt, falls \(\dot \gamma_1(t) = 0 \ \land \ \dot \gamma_2(t) \ne 0\)
Bogenlänge#
Die Bogenlänge einer Kurve \(L(\gamma)\) ist
\[L(\gamma) = \int_{a}^{b} \norm{\dot \gamma(t)} \diff t\]
If \(n = 2\) (2D): \(L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{\dot x^2 + \dot y^2}\diff t\)